№ 1 В треугольнике АВС известно, что АС = BC, AB=18, tgA=\frac{2√22}{9}. Найдите длину стороны АС.

Пошаговое решение:

• Пусть CH - высота, проведенная к основанию AB. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то CH является медианой и биссектрисой.
• Следовательно, AH = HB = AB / 2 = 18 / 2 = 9.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \[ tgA = \frac{CH}{AH} \]
• Из условия tgA = \frac{2\sqrt{22}}{9}, поэтому \[ \frac{CH}{9} = \frac{2\sqrt{22}}{9} \]
• CH = 2\sqrt{22}
• Применим теорему Пифагора к треугольнику ACH: \[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \] \[ AC^2 = 9^2 + (2\sqrt{22})^2 \] \[ AC^2 = 81 + 4 \cdot 22 \] \[ AC^2 = 81 + 88 \] \[ AC^2 = 169 \]
• AC = \sqrt{169} = 13

Ответ: 13