№8. Куб покрасили целиком, а потом распилили на кубики высотой 1 см. Получилось ровно 84 кубика с двумя окрашенными гранями. Сколько получилось неокрашенных кубиков?

Пусть куб был распилен на $$n \times n \times n$$ кубиков со стороной 1 см. Кубики с двумя окрашенными гранями находятся на рёбрах куба, исключая угловые кубики, которые имеют три окрашенные грани. У куба 12 ребер. На каждом ребре находится $$n-2$$ кубика с двумя окрашенными гранями. Таким образом, количество кубиков с двумя окрашенными гранями равно $$12(n-2)$$. По условию, $$12(n-2) = 84$$. $$n-2 = \frac{84}{12} = 7$$ $$n = 9$$ Следовательно, куб был распилен на $$9 \times 9 \times 9$$ кубиков, то есть всего было $$9^3 = 729$$ кубиков. Неокрашенные кубики находятся внутри куба, то есть они образуют куб размером $$(n-2) \times (n-2) \times (n-2)$$. Количество неокрашенных кубиков равно $$(n-2)^3 = (9-2)^3 = 7^3 = 343$$. **Ответ: 343**