№1. Однородный шар диаметром 4 см весит 256 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?

Пусть ρ - плотность материала шаров.

Масса шара вычисляется по формуле: $$m = \rho V$$, где V - объем шара.

Объем шара вычисляется по формуле: $$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$, где R - радиус шара.

Для первого шара:

Диаметр d₁ = 4 см, следовательно, радиус R₁ = 2 см.

Объем V₁ = $$\frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{32}{3}\pi$$

Масса m₁ = 256 г.

Плотность $$ \rho = \frac{m_1}{V_1} = \frac{256}{\frac{32}{3}\pi} = \frac{256 \cdot 3}{32\pi} = \frac{24}{\pi}$$

Для второго шара:

Диаметр d₂ = 5 см, следовательно, радиус R₂ = 2.5 см.

Объем V₂ = $$\frac{4}{3}\pi (2.5)^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{5}{2})^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{125}{8} = \frac{125\pi}{6}$$

Масса m₂ = $$ \rho V_2 = \frac{24}{\pi} \cdot \frac{125\pi}{6} = \frac{24 \cdot 125}{6} = 4 \cdot 125 = 500$$

Ответ: 500