№6. Площадь прямоугольного треугольника равна 98√3. Найдите катет, противолежащий острому углу, равному 30°.

В прямоугольном треугольнике площадь можно найти по формуле:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

где a и b - катеты прямоугольного треугольника.

Также площадь прямоугольного треугольника можно найти через катет и острый угол.

Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника равна 98√3.

Обозначим катет, прилежащий к углу 30°, как x. Тогда катет, противолежащий углу 30°, будет равен y.

Тогда площадь прямоугольного треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y = 98\sqrt{3}$$

Если один из острых углов равен 30°, то противолежащий ему катет равен половине гипотенузы. Второй катет будет прилежащим к углу 30°.

Поскольку тангенс угла 30° равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то:

$$tg(30°) = \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$y = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Подставим в уравнение площади:

$$S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 98\sqrt{3}$$ $$x^2 = \frac{2 \cdot 3 \cdot 98 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$ $$x^2 = 2 \cdot 3 \cdot 98 = 588$$ $$x = \sqrt{588} = 14\sqrt{3}$$

Тогда

$$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 14\sqrt{3} = \frac{14 \cdot 3}{3} = 14$$

Катет, противолежащий острому углу 30°, равен 14.

Ответ: 14