№3 Решить систему уравнений: \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = -12 \end{cases}

Давайте решим эту систему уравнений. Шаг 1: Выразим (y) через (x) из второго уравнения: (y = -12/x). Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение: \[ x^2 + \left(-\frac{12}{x}\right)^2 = 25 \] \[ x^2 + \frac{144}{x^2} = 25 \] Шаг 3: Умножим обе части уравнения на (x^2), чтобы избавиться от знаменателя: \[ x^4 + 144 = 25x^2 \] \[ x^4 - 25x^2 + 144 = 0 \] Шаг 4: Введем замену (z = x^2), тогда уравнение станет квадратным относительно (z): \[ z^2 - 25z + 144 = 0 \] Шаг 5: Решим квадратное уравнение для (z). Дискриминант (D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49). Тогда корни: \[ z_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = 16 \] \[ z_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = 9 \] Шаг 6: Найдем значения (x) из (z = x^2): \[ x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4 \] \[ x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \] Шаг 7: Найдем соответствующие значения (y) из (y = -12/x): - Если (x = 4), то (y = -12/4 = -3). - Если (x = -4), то (y = -12/(-4) = 3). - Если (x = 3), то (y = -12/3 = -4). - Если (x = -3), то (y = -12/(-3) = 4). Ответ: Решения системы уравнений: ((4, -3), (-4, 3), (3, -4), (-3, 4)).