№5 Решить систему уравнений: \begin{cases} x + y + xy = -7 \\ xy(x + y) = 12 \end{cases}

Давайте решим систему уравнений. Шаг 1: Введем замену переменных: (u = x + y) и (v = xy). Тогда система уравнений примет вид: \begin{cases} u + v = -7 \\ uv = 12 \end{cases} Шаг 2: Выразим (v) через (u) из первого уравнения: (v = -7 - u). Шаг 3: Подставим это выражение во второе уравнение: \[ u(-7 - u) = 12 \] \[ -7u - u^2 = 12 \] \[ u^2 + 7u + 12 = 0 \] Шаг 4: Решим квадратное уравнение для (u). Дискриминант (D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1). Тогда корни: \[ u_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-7 + 1}{2} = -3 \] \[ u_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-7 - 1}{2} = -4 \] Шаг 5: Найдем соответствующие значения (v): - Если (u = -3), то (v = -7 - (-3) = -4). - Если (u = -4), то (v = -7 - (-4) = -3). Шаг 6: Вернемся к исходным переменным (x) и (y). Случай 1: (x + y = -3) и (xy = -4). Тогда (y = -3 - x), и подставим это в (xy = -4): \[ x(-3 - x) = -4 \] \[ -3x - x^2 = -4 \] \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \] Дискриминант (D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25). \[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \] Если (x = 1), то (y = -3 - 1 = -4). Если (x = -4), то (y = -3 - (-4) = 1). Случай 2: (x + y = -4) и (xy = -3). Тогда (y = -4 - x), и подставим это в (xy = -3): \[ x(-4 - x) = -3 \] \[ -4x - x^2 = -3 \] \[ x^2 + 4x - 3 = 0 \] Дискриминант (D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28). \[ x_3 = \frac{-4 + \sqrt{28}}{2} = \frac{-4 + 2\sqrt{7}}{2} = -2 + \sqrt{7} \] \[ x_4 = \frac{-4 - \sqrt{28}}{2} = \frac{-4 - 2\sqrt{7}}{2} = -2 - \sqrt{7} \] Если (x = -2 + \sqrt{7}), то (y = -4 - (-2 + \sqrt{7}) = -2 - \sqrt{7}). Если (x = -2 - \sqrt{7}), то (y = -4 - (-2 - \sqrt{7}) = -2 + \sqrt{7}). Ответ: Решения системы уравнений: ((1, -4), (-4, 1), (-2 + \sqrt{7}, -2 - \sqrt{7}), (-2 - \sqrt{7}, -2 + \sqrt{7})).