№5. Решите неравенства с помощью графика квадратичной функции: a) 2x²-7x-4≤0; 6) x²-4x+4>0; в) 3x²+4x+2<0.

Решим неравенства с помощью графика квадратичной функции:

a) $$2x^2 - 7x - 4 \le 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$2x^2 - 7x - 4 = 0$$

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$$

$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$$

$$x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} = -0.5$$

Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положительный, ветви параболы направлены вверх. Неравенство меньше или равно нулю, значит, выбираем интервал между корнями.

$$x \in [-0.5, 4]$$

б) $$x^2 - 4x + 4 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

$$(x-2)^2 = 0$$

$$x = 2$$

Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положительный, ветви параболы направлены вверх. Неравенство строго больше нуля, значит, выбираем все значения, кроме корня.

$$x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$$

в) $$3x^2 + 4x + 2 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$3x^2 + 4x + 2 = 0$$

$$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8$$

Поскольку дискриминант отрицательный, корней нет. Значит, график не пересекает ось x.

Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положительный, ветви параболы направлены вверх. Значит, функция всегда принимает положительные значения.

Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: a) $$x \in [-0.5, 4]$$, б) $$x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$$, в) нет решений.