№5*. В параллелограмме ABCD ∠A = 60°, диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ. Прямая, проходящая через середину отрезка BD – точку М – параллельно AD, пересекает сторону АВ в точке К, МК = 4 см. Найдите площадь треугольника AMD.

Так как диагональ BD перпендикулярна стороне AB, то угол ABD = 90°. Угол A = 60°, следовательно, угол ADB = 180° - 90° - 60° = 30°. Поскольку MK параллельна AD и MK проходит через середину BD (точка M), то MK является средней линией треугольника ABD. Следовательно, MK = AD/2, значит AD = 2 * MK = 2 * 4 см = 8 см.

Найдем высоту BK в треугольнике ABD. Так как ADB = 30°, то AB = AD/2 (катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы) = 8/2 = 4 см.

Площадь параллелограмма ABCD равна AB * AD * sin(60°) = 4 * 8 * √3/2 = 16√3 см^2.

Поскольку MK параллельна AD, то треугольник AMD имеет ту же высоту, что и треугольник AKD, но их основания отличаются. Площадь треугольника AMD = 1/2 * AD * AB = 1/2 * 8 * 4 = 16 см^2.

Ответ: 16 см²