№4 В треугольнике АВС ∠A = 90°, ∠B = 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 30°, DA = 4 см. Найти АС и расстояние от точки D до стороны ВС.

Решение:

• Рассмотрим треугольник \( ABD \). В нем \( \angle A = 90^\circ \), \( DA = 4 \) см.
• \( \angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ \).
• В прямоугольном треугольнике против угла в \( 30^\circ \) лежит катет, равный половине гипотенузы, значит \( BD = 2 \cdot DA = 2 \cdot 4 = 8 \) см.
• По теореме Пифагора, \( AB = \sqrt{BD^2 - DA^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \) см.
• Рассмотрим треугольник \( ABC \). В нем \( \angle A = 90^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \).
• Тогда \( BC = \frac{AB}{\tan A} = \frac{4\sqrt{3}}{\tan 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \) см.
• Тогда \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8 \) см.
• Расстояние от точки \( D \) до стороны \( BC \) - это перпендикуляр \( DE \) к стороне \( BC \).
• Рассмотрим треугольник \( BDE \). В нем \( \angle E = 90^\circ \), \( \angle DBC = 30^\circ \), значит \( DE = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \) см.

Ответ: AC = 8 см, расстояние = 4 см