№8. В угол величиной 60° поместили две круглые шестерёнки так, что они касаются друг друга и обеих сторон угла. Радиус большей шестерёнки равен 6 см. Найдите радиус меньшей шестерёнки.

Решение:

• Пусть радиус меньшей шестерёнки равен r, а радиус большей шестерёнки равен R.
• Расстояние от вершины угла до центра меньшей шестерёнки равно 2r, а до центра большей шестерёнки равно 2R.
• Так как шестерёнки касаются, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: r + R.
• Центры шестерёнок и вершина угла лежат на одной прямой, следовательно:
  \[2R = 2r + r + R\] \[R = 3r\] \[r = \frac{R}{3}\]
• Подставляем значение радиуса большей шестерёнки:
\[r = \frac{6}{3} = 2\]

Ответ: Радиус меньшей шестерёнки равен 2 см.