№1 Вычислить a) 7+43+7-4√3; B) 8+27-8-2√7;

№1 Вычислить

a) $$\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$;

Преобразуем подкоренные выражения, чтобы выделить полные квадраты:

$$7+4\sqrt{3} = 4+3+4\sqrt{3} = 2^2 + 2 \cdot 2 \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$$

$$7-4\sqrt{3} = 4+3-4\sqrt{3} = 2^2 - 2 \cdot 2 \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2-\sqrt{3})^2$$

Тогда выражение примет вид:

$$\sqrt{(2+\sqrt{3})^2} + \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}| + |2-\sqrt{3}|$$

Так как $$2+\sqrt{3} > 0$$ и $$2-\sqrt{3} > 0$$, то модули можно опустить:

$$2+\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} = 4$$

б) $$\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{8-2\sqrt{7}}$$;

Преобразуем подкоренные выражения, чтобы выделить полные квадраты:

$$8+2\sqrt{7} = 1+7+2\sqrt{7} = 1^2 + 2 \cdot 1 \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (1+\sqrt{7})^2$$

$$8-2\sqrt{7} = 1+7-2\sqrt{7} = 1^2 - 2 \cdot 1 \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (\sqrt{7}-1)^2$$

Тогда выражение примет вид:

$$\sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} - \sqrt{(\sqrt{7}-1)^2} = |\sqrt{7}+1| - |\sqrt{7}-1|$$

Так как $$\sqrt{7}+1 > 0$$ и $$\sqrt{7}-1 > 0$$, то модули можно опустить:

$$\sqrt{7}+1 - (\sqrt{7}-1) = \sqrt{7}+1 - \sqrt{7}+1 = 2$$

Ответ: а) 4; б) 2