№1. Вычислите cos a, tg a, sin 2a, cos(a/2), если sin a = 1/3, π/2 < a < π

Дано: \( \sin a = \frac{1}{3} \), \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \) 1. Найдем \( \cos a \). Поскольку \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \), угол \( a \) находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) \( \cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \) \( \cos a = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \) 2. Найдем \( \tan a \): \( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \) 3. Найдем \( \sin 2a \): \( \sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = -\frac{4\sqrt{2}}{9} \) 4. Найдем \( \cos \frac{a}{2} \). Поскольку \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \), то \( \frac{\pi}{4} < \frac{a}{2} < \frac{\pi}{2} \). Значит, угол \( \frac{a}{2} \) находится в первой четверти, где косинус положителен. \( \cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}} = \frac{\sqrt{6 - 4\sqrt{2}}}{2\sqrt{3}} \) Можно упростить выражение под корнем: \( 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2 \), поэтому \( \cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{6}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12} - \sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}{6} \) Ответ: \( \cos a = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \), \( \tan a = -\frac{\sqrt{2}}{4} \), \( \sin 2a = -\frac{4\sqrt{2}}{9} \), \( \cos \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}{6} \)