0.11 Имеются два сосуда. Первый содержит 40 кг, а второй - 50 кг водного раствора некоторого вещества различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 60% некоторого вещества. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 55% некоторого вещества. Сколько килограммов некоторого вещества содержится в первом сосуде?

Решение:

Пусть \( x \) — концентрация вещества в первом растворе (в долях от 1), \( y \) — концентрация вещества во втором растворе (в долях от 1).

Масса вещества в первом сосуде: \( 40x \) кг.

Масса вещества во втором сосуде: \( 50y \) кг.

Условие 1: Смешивание всех растворов.

Общая масса смеси: \( 40 + 50 = 90 \) кг.

Общая масса вещества в смеси: \( 40x + 50y \) кг.

Концентрация в смеси: 60%, то есть 0.6.

\( \frac{40x + 50y}{90} = 0.6 \)

\( 40x + 50y = 0.6 \times 90 \)

\( 40x + 50y = 54 \)

Разделим на 10: \( 4x + 5y = 5.4 \) (Уравнение 1)

Условие 2: Смешивание равных масс растворов.

Возьмем по \( m \) кг каждого раствора.

Масса вещества из первого сосуда: \( mx \) кг.

Масса вещества из второго сосуда: \( my \) кг.

Общая масса смеси: \( m + m = 2m \) кг.

Общая масса вещества в смеси: \( mx + my \) кг.

Концентрация в смеси: 55%, то есть 0.55.

\( \frac{mx + my}{2m} = 0.55 \)

\( \frac{m(x + y)}{2m} = 0.55 \)

\( \frac{x + y}{2} = 0.55 \)

\( x + y = 0.55 \times 2 \)

\( x + y = 1.1 \) (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( 4x + 5y = 5.4 \)
2. \( x + y = 1.1 \)

Из Уравнения 2 выразим \( y \): \( y = 1.1 - x \).

Подставим это в Уравнение 1:

\( 4x + 5(1.1 - x) = 5.4 \)

\( 4x + 5.5 - 5x = 5.4 \)

\( -x = 5.4 - 5.5 \)

\( -x = -0.1 \)

\( x = 0.1 \)

Концентрация вещества в первом сосуде — 0.1 (или 10%).

Нас спрашивают, сколько килограммов вещества содержится в первом сосуде. Масса вещества в первом сосуде равна:

\( \text{Масса вещества} = \text{Масса раствора} \times \text{Концентрация} = 40 \text{ кг} \times 0.1 = 4 \) кг.

Ответ: 4 кг.