016.25. Найдите все целочисленные значения функции: а) y = 5 + 4 cos x; б) y = √(2 − 7 cos x); в) y = 3 − 2 sin x; г) y = √(11 + 2 sin x).

Используем sin x, cos x ∈ [−1; 1]. Для корней учитываем, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

1. а) 5 + 4 cos x принимает все значения промежутка [1; 9]. Целые значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2. б) Подкоренное выражение 2 − 7 cos x принимает значения от −5 до 9. С учётом области определения функции оно меняется от 0 до 9, поэтому y ∈ [0; 3]. Целые значения: 0, 1, 2, 3.

3. в) 3 − 2 sin x ∈ [1; 5]. Целые значения: 1, 2, 3, 4, 5.

4. г) 11 + 2 sin x ∈ [9; 13], поэтому y ∈ [3; √13]. Единственное целое значение — 3.

Ответ: а) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; б) 0, 1, 2, 3; в) 1, 2, 3, 4, 5; г) 3.