Найдите область значений функции: 016.24. а) y = sin² x − 6 sin x + 8; б) y = √(2 − cos x); в) y = cos² x + cos x + 2; г) y = √(8 sin x − 4).

1. а) Обозначим t = sin x, где t ∈ [−1; 1]. Тогда y = t² − 6t + 8. Производная этого выражения равна 2t − 6 < 0 на всём промежутке [−1; 1], значит функция убывает. Наибольшее значение при t = −1 равно 15, наименьшее при t = 1 равно 3. Область значений: [3; 15].

2. б) Так как cos x ∈ [−1; 1], то 2 − cos x ∈ [1; 3]. После извлечения корня получаем [1; √3].

3. в) Обозначим t = cos x ∈ [−1; 1]. Тогда y = t² + t + 2 = (t + 1/2)² + 7/4. Минимум равен 7/4 при t = −1/2. Наибольшее значение на отрезке достигается при t = 1 и равно 4. Область значений: [7/4; 4].

4. г) Подкоренное выражение 8 sin x − 4 при допустимых значениях неотрицательно и принимает все значения от 0 до 4 (так как sin x ∈ [1/2; 1]). Следовательно, y ∈ [0; 2].

Ответ: а) [3; 15]; б) [1; √3]; в) [7/4; 4]; г) [0; 2].