028.18. a) y = x^3 / (2x + 4); б) y = x^2 / (x^2 - 1);

Решение:

a) Найдем производную функции \( y = \frac{x^3}{2x + 4} \).

Используем правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)\' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = x^3 \) и \( v = 2x + 4 \).

Тогда \( u' = 3x^2 \) и \( v' = 2 \).

Подставляем в формулу:

\[ y\' = \frac{3x^2(2x + 4) - x^3(2)}{(2x + 4)^2} = \frac{6x^3 + 12x^2 - 2x^3}{(2x + 4)^2} = \frac{4x^3 + 12x^2}{(2x + 4)^2} = \frac{4x^2(x + 3)}{4(x + 2)^2} = \frac{x^2(x + 3)}{(x + 2)^2} \]

б) Найдем производную функции \( y = \frac{x^2}{x^2 - 1} \).

Пусть \( u = x^2 \) и \( v = x^2 - 1 \).

Тогда \( u' = 2x \) и \( v' = 2x \).

Подставляем в формулу:

\[ y\' = \frac{2x(x^2 - 1) - x^2(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2} \]

Ответ: a) \( y\' = \frac{x^2(x + 3)}{(x + 2)^2} \); б) \( y\' = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2} \).