028.23. Вычислите скорость изменения функции y = g(x) в точке x₀: a) g(x) = x³ + 2x, x₀ = 2; б) g(x) = (√x + 1)√x, x₀ = 1; в) g(x) = x² + 4√x - 4x, x₀ = 4; г) g(x) = (1/x)(4/x - 2), x₀ = -0,5.

Решение:

Скорость изменения функции в точке равна значению её производной в этой точке.

a) Для \( g(x) = x^3 + 2x \) производная \( g'(x) = 3x^2 + 2 \).

При \( x_0 = 2 \): \( g'(2) = 3(2)^2 + 2 = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14 \).

б) Сначала упростим функцию: \( g(x) = (\sqrt{x} + 1)\sqrt{x} = x + \sqrt{x} \).

Производная \( g'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

При \( x_0 = 1 \): \( g'(1) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1}} = 1 + \frac{1}{2} = 1.5 \).

в) Сначала упростим функцию: \( g(x) = x^2 + 4x^{1/2} - 4x \).

Производная \( g'(x) = 2x + 4 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} - 4 = 2x + \frac{2}{\sqrt{x}} - 4 \).

При \( x_0 = 4 \): \( g'(4) = 2(4) + \frac{2}{\sqrt{4}} - 4 = 8 + \frac{2}{2} - 4 = 8 + 1 - 4 = 5 \).

г) Сначала упростим функцию: \( g(x) = \frac{1}{x}\left(\frac{4}{x} - 2\right) = \frac{4}{x^2} - \frac{2}{x} = 4x^{-2} - 2x^{-1} \).

Производная \( g'(x) = 4(-2)x^{-3} - 2(-1)x^{-2} = -8x^{-3} + 2x^{-2} = -\frac{8}{x^3} + \frac{2}{x^2} \).

При \( x_0 = -0.5 = -1/2 \): \( g'(-1/2) = -\frac{8}{(-1/2)^3} + \frac{2}{(-1/2)^2} = -\frac{8}{-1/8} + \frac{2}{1/4} = -8(-8) + 2(4) = 64 + 8 = 72 \).

Ответ: a) 14; б) 1.5; в) 5; г) 72.