040.14. Решите уравнения: а) \(2^{2x}-6\cdot2^x+8=0\); б) \(3^{2x}-6\cdot3^x-27=0\); в) \(\left(\frac16\right)^{2x}-5\cdot\left(\frac16\right)^x-6=0\); г) \(\left(\frac16\right)^{2x}+5\cdot\left(\frac16\right)^x-6=0\).

В каждом уравнении используем замену переменной на положительное выражение, стоящее в первой степени.

а) Пусть \(t=2^x>0\). Получаем \(t^2-6t+8=0\), то есть \((t-2)(t-4)=0\). Поэтому \(t=2\) или \(t=4\), откуда \(x=1\) или \(x=2\).

б) Пусть \(t=3^x>0\). Тогда \(t^2-6t-27=0\), или \((t-9)(t+3)=0\). Поскольку \(t>0\), подходит только \(t=9=3^2\), следовательно, \(x=2\).

в) Пусть \(t=\left(\frac16\right)^x>0\). Тогда \(t^2-5t-6=0\), то есть \((t-6)(t+1)=0\). Подходит \(t=6\). Следовательно, \(\left(\frac16\right)^x=6=\left(\frac16\right)^{-1}\), откуда \(x=-1\).

г) Пусть \(t=\left(\frac16\right)^x>0\). Получаем \(t^2+5t-6=0\), то есть \((t+6)(t-1)=0\). Подходит \(t=1\), поэтому \(\left(\frac16\right)^x=1\) и \(x=0\).

Ответ: а) \(1, 2\); б) \(2\); в) \(-1\); г) \(0\).