040.16. Решите уравнения: а) $4\cdot\left(\frac1{16}\right)^x-17\cdot\left(\frac14\right)^x+4=0$; б) $(0{,}01)^x+9{,}9\cdot(0{,}1)^x-1=0$; в) $3\cdot\left(\frac49\right)^x+7\cdot\left(\frac23\right)^x-6=0$; г) $5\cdot\left(\frac4{25}\right)^x+23\cdot\left(\frac25\right)^x-10=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 040.16. Решите уравнения: а) $4\cdot\left(\frac1{16}\right)^x-17\cdot\left(\frac14\right)^x+4=0$; б)…$ Фото задания

040.16. Решите уравнения: а) $4\cdot\left(\frac1{16}\right)^x-17\cdot\left(\frac14\right)^x+4=0$; б) $(0{,}01)^x+9{,}9\cdot(0{,}1)^x-1=0$; в) $3\cdot\left(\frac49\right)^x+7\cdot\left(\frac23\right)^x-6=0$; г) $5\cdot\left(\frac4{25}\right)^x+23\cdot\left(\frac25\right)^x-10=0$.

Accepted Answer

а) Пусть $t=\left(\frac14\right)^x>0$; тогда $\left(\frac1{16}\right)^x=t^2$. Получаем $4t^2-17t+4=0$, или $(4t-1)(t-4)=0$. Значит, $t=\frac14$ или $t=4$. Отсюда $x=1$ или $x=-1$.

б) Пусть $t=(0{,}1)^x>0$; тогда $(0{,}01)^x=t^2$. Получаем $t^2+9{,}9t-1=0$. Дискриминант $D=9{,}9^2+4=102{,}01=10{,}1^2$, поэтому корни $t=0{,}1$ и $t=-10$. Учитывая $t>0$, оставляем $t=0{,}1=(0{,}1)^1$, значит, $x=1$.

в) Пусть $t=\left(\frac23\right)^x>0$; тогда $\left(\frac49\right)^x=t^2$. Получаем $3t^2+7t-6=0$, или $(3t-2)(t+3)=0$. Подходит $t=\frac23$, откуда $x=1$.

г) Пусть $t=\left(\frac25\right)^x>0$; тогда $\left(\frac4{25}\right)^x=t^2$. Получаем $5t^2+23t-10=0"). Дискриминант \(D=23^2+200=729=27^2$, поэтому $t=\frac25$ или $t=-5$. Из-за условия $t>0$ подходит только $t=\frac25=\left(\frac25\right)^1$, следовательно, $x=1$.

Ответ: а) $-1, 1$; б) $1$; в) $1$; г) $1$.