040.16. Решите уравнения: а) $4\cdot(1/16)^x-17\cdot(1/4)^x+4=0$; б) $(0{,}01)^x+9{,}9\cdot(0{,}1)^x-1=0$; в) $3\cdot(4/9)^x+7\cdot(2/3)^x-6=0$; г) $5\cdot(4/25)^x+23\cdot(2/5)^x-10=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 040.16. Решите уравнения: а) $4\cdot(1/16)^x-17\cdot(1/4)^x+4=0$; б) $(0{,}01)^x+9{,}9\cdot(0{,}1)^x-1=0$; в)…$ Фото задания

040.16. Решите уравнения: а) $4\cdot(1/16)^x-17\cdot(1/4)^x+4=0$; б) $(0{,}01)^x+9{,}9\cdot(0{,}1)^x-1=0$; в) $3\cdot(4/9)^x+7\cdot(2/3)^x-6=0$; г) $5\cdot(4/25)^x+23\cdot(2/5)^x-10=0$.

Accepted Answer

а) Пусть $t=(1/4)^x>0$, тогда $(1/16)^x=t^2$. Получаем $4t^2-17t+4=0$. Корни: $t=4$ и $t=1/4$. Следовательно, $(1/4)^x=4=(1/4)^{-1}$ или $(1/4)^x=1/4$, откуда $x=-1$ или $x=1$.

б) Положим $t=(0{,}1)^x>0$, тогда $(0{,}01)^x=t^2$. Имеем $t^2+9{,}9t-1=0$. Дискриминант равен $100{,}01=10001/100$, поэтому положительный корень $t=(\sqrt{10001}-99)/20$. Отсюда $x=\log_{0{,}1}((\sqrt{10001}-99)/20)$. Второй корень отрицателен и не подходит, поскольку $t>0$.

в) Пусть $t=(2/3)^x>0$. Тогда $(4/9)^x=t^2$, и $3t^2+7t-6=0=(3t-2)(t+3)$. Допустимо $t=2/3$, значит, $x=1$.

г) Пусть $t=(2/5)^x>0$. Тогда $(4/25)^x=t^2$, и $5t^2+23t-10=0=(5t-2)(t+5)$. Допустимо $t=2/5$, значит, $x=1$.

Ответ: а) −1; 1; б) $\log_{0{,}1}((\sqrt{10001}-99)/20)$; в) 1; г) 1.

040.16. Решите уравнения: а) \(4\cdot(1/16)^x-17\cdot(1/4)^x+4=0\); б) \((0{,}01)^x+9{,}9\cdot(0{,}1)^x-1=0\); в) \(3\cdot(4/9)^x+7\cdot(2/3)^x-6=0\); г) \(5\cdot(4/25)^x+23\cdot(2/5)^x-10=0\).

Ответ: