040.7. Решите уравнения: а) \(3^{x^2-4,5}\cdot\sqrt3=\frac1{27}\); б) \(0,5^{x^2-5,5}\cdot\sqrt{0,5}=32\); в) \(\sqrt{2^{-1}}\cdot2^{x^2-7,5}=\frac1{128}\); г) \(0,1^{x^2-0,5}\cdot\sqrt{0,1}=0,001\).

Преобразуем корни и правые части к степеням с одинаковыми основаниями.

1. а) \(\sqrt3=3^{1/2}\), поэтому \(3^{x^2-4}=3^{-3}\). Следовательно, \(x^2=1\), откуда \(x=\pm1\).
2. б) \(\sqrt{0,5}=0,5^{1/2}\), поэтому \(0,5^{x^2-5}=0,5^{-5}\). Следовательно, \(x^2=0\), откуда \(x=0\).
3. в) \(\sqrt{2^{-1}}=2^{-1/2}\), поэтому \(2^{x^2-8}=2^{-7}\). Следовательно, \(x^2=1\), откуда \(x=\pm1\).
4. г) \(\sqrt{0,1}=0,1^{1/2}\), поэтому \(0,1^{x^2}=0,1^3\). Следовательно, \(x^2=3\), откуда \(x=\pm\sqrt3\).

Ответ: а) \(x=\pm1\); б) \(x=0\); в) \(x=\pm1\); г) \(x=\pm\sqrt3\).