040.8. Решите уравнения: а) \(2^x\left(\frac32\right)^x=\frac19\); б) \(\left(\frac15\right)^x\cdot3^x=\sqrt{\frac{27}{125}}\); в) \(5^x\cdot2^x=0,1^{-3}\); г) \(0,3^x\cdot3^x=\sqrt[3]{0,81}\).

Используем свойство \(a^x\cdot b^x=(ab)^x\).

1. а) \(2^x\left(\frac32\right)^x=3^x\). Тогда \(3^x=3^{-2}\), поэтому \(x=-2\).
2. б) \(\left(\frac15\right)^x\cdot3^x=\left(\frac35\right)^x\). Кроме того, \(\sqrt{\frac{27}{125}}=\sqrt{\left(\frac35\right)^3}=\left(\frac35\right)^{3/2}\). Поэтому \(x=\frac32\).
3. в) \(5^x\cdot2^x=10^x\), а \(0,1^{-3}=(10^{-1})^{-3}=10^3\). Следовательно, \(x=3\).
4. г) \(0,3^x\cdot3^x=0,9^x\). Так как \(\sqrt[3]{0,81}=\sqrt[3]{0,9^2}=0,9^{2/3}\), получаем \(x=\frac23\).

Ответ: а) \(x=-2\); б) \(x=\frac32\); в) \(x=3\); г) \(x=\frac23\).