0473. г) \( (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t) \)

Решение:

Преобразуем выражение, используя определения тангенса и котангенса:

\( \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} \) и \( \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} \).

\( (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t) = \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\cos t \sin t} \)

Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \):

\( \frac{1}{\cos t \sin t} \)

Также можно заметить, что \( 2 \sin t \cos t = \sin 2t \), следовательно \( \sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin 2t \).

Тогда выражение будет:

\( \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2t} = \frac{2}{\sin 2t} \)

Ответ: \( \frac{2}{\sin 2t} \).