Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 08.16. Решите уравнения: а) \(4\cdot(\frac1{16})^x-17\cdot(\frac14)^x+4=0\); б) \(0{,}01^x+9{,}9\cdot(0{,}1)^x-1=0\); в)…Фото задания

Ответ:

  1. а) Обозначим \(t=(\frac14)^x>0\); тогда \((\frac1{16})^x=t^2\). Получаем \(4t^2-17t+4=0\), откуда \(t=4\) или \(t=\frac14\). Так как \((\frac14)^x=4=(\frac14)^{-1}\) либо \((\frac14)^x=\frac14\), получаем \(x=-1\) или \(x=1\).

  2. б) Пусть \(t=(0{,}1)^x>0\). Тогда \((0{,}01)^x=t^2\), и \(t^2+9{,}9t-1=0\). Корни \(t=0{,}1\) и \(t=-10\); подходит \(t=0{,}1=(0{,}1)^1\), поэтому \(x=1\).

  3. в) Пусть \(t=(\frac29)^x>0\). Тогда \((\frac49)^x=2^x(\frac29)^x\) не является \(t^2\), поэтому удобнее заметить \(\frac49=(\frac23)^2\), а \(\frac29\) — отдельное основание. Положим \(u=(\frac23)^x>0\); тогда \((\frac49)^x=u^2\), а \((\frac29)^x=u\cdot(\frac13)^x\). Эквивалентной общей замены здесь нет; исходное уравнение в напечатанном виде не сводится к квадратному уравнению одной переменной. Для его точного решения требуется численный метод: функция \(3(4/9)^x+7(2/9)^x-6\) строго убывает, поскольку оба основания меньше 1. При \(x=0\) значение равно 4, при \(x=1\) равно \(-\frac{28}{9}\), следовательно, единственный корень находится между 0 и 1; численно \(x\approx0{,}39\).

  4. г) Обозначим \(t=(\frac25)^x>0\). Так как \((\frac4{25})^x=t^2\), уравнение становится \(5t^2+23t-10=0\). Его положительный корень \(t=\frac25\), второй корень отрицательный. Поэтому \((\frac25)^x=\frac25\), откуда \(x=1\).

Ответ: а) \(x=-1,1\); б) \(x=1\); в) единственный корень \(x\approx0{,}39\); г) \(x=1\).