1. (1 балл) В треугольнике АВС стороны АС и ВС равны. На стороне АС взята точка М, равноудалённая от прямых АВ и ВС. Найдите угол АСВ, если ∠ABM = 35°.

Решение:

1. Так как \( \angle ABC = \angle ACB \) (т.к. \( AC = BC \)), то \( \angle BAC = 180° - 2\angle ACB \).
2. Точка М равноудалена от прямых АВ и ВС, значит, лежит на биссектрисе угла ABC.
3. \( \angle ABM = \angle MBC = 35° \).
4. \( \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC = 35° + 35° = 70° \).
5. В треугольнике ABC: \( \angle ACB = \angle ABC \).
6. \( \angle ACB = \frac{180° - \angle BAC}{2} \).
7. \( \angle ABC = 70° \), значит \( \angle ACB = \angle ABC = 70° \).
8. \( \angle BAC = 180° - 70° - 70° = 40° \).
9. В треугольнике ABM: \( \angle AMB = 180° - \angle BAM - \angle ABM = 180° - 40° - 35° = 105° \).

Ответ: 70°.