1.116 Постройте развёрнутый угол POT и проведите лучи OS и OT, если: а) угол POS вдвое меньше угла SOT; б) угол POS на 80° больше угла SOT; в) угол SOT в 5 раз больше угла POS.

Развёрнутый угол равен \(180°\), поэтому \(\angle POS+\angle SOT=180°\).

1. а) Пусть \(\angle POS=x\). Тогда \(\angle SOT=2x\).
   \(x+2x=180°\), \(3x=180°\), \(x=60°\).
   Следовательно, \(\angle POS=60°\), \(\angle SOT=120°\).
2. б) Пусть \(\angle SOT=x\). Тогда \(\angle POS=x+80°\).
   \(x+x+80°=180°\), \(2x=100°\), \(x=50°\).
   Следовательно, \(\angle SOT=50°\), \(\angle POS=130°\).
3. в) Пусть \(\angle POS=x\). Тогда \(\angle SOT=5x\).
   \(x+5x=180°\), \(6x=180°\), \(x=30°\).
   Следовательно, \(\angle POS=30°\), \(\angle SOT=150°\).

Для построения в каждом случае проводят прямую через точку O и откладывают от одного луча найденную величину соответствующего угла.

Ответ: а) \(\angle POS=60°\), \(\angle SOT=120°\); б) \(\angle POS=130°\), \(\angle SOT=50°\); в) \(\angle POS=30°\), \(\angle SOT=150°\).