1.117 Внутри прямого угла ABC проведён луч BD. Найдите углы ABD и DBC, если: а) угол ABD в 4 раза меньше угла DBC; б) угол DBC больше угла ABD на 32°; в) угол ABD в 8 раз больше угла DBC.

Прямой угол \(ABC\) равен \(90°\), поэтому \(\angle ABD+\angle DBC=90°\).

1. а) Пусть \(\angle ABD=x\). Тогда \(\angle DBC=4x\).
   \(x+4x=90°\), \(5x=90°\), \(x=18°\).
   \(\angle ABD=18°\), \(\angle DBC=72°\).
2. б) Пусть \(\angle ABD=x\). Тогда \(\angle DBC=x+32°\).
   \(x+x+32°=90°\), \(2x=58°\), \(x=29°\).
   \(\angle ABD=29°\), \(\angle DBC=61°\).
3. в) Пусть \(\angle DBC=x\). Тогда \(\angle ABD=8x\).
   \(8x+x=90°\), \(9x=90°\), \(x=10°\).
   \(\angle DBC=10°\), \(\angle ABD=80°\).

Ответ: а) \(18°\) и \(72°\); б) \(29°\) и \(61°\); в) \(80°\) и \(10°\).