1.16. В прямоугольном треугольнике ∠C равен 57°. Найдите величину угла между биссектрисой ВМ и высотой ВН, проведенными из прямого угла В. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 57^{\circ} \). Так как \( \angle ACB = 90^{\circ} \) (по условию, прямоугольный треугольник), то \( \angle A = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 57^{\circ} = 33^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник ABH, где BH — высота. \( \angle AHB = 90^{\circ} \).

\( \angle ABH = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 33^{\circ} = 57^{\circ} \).

BM — биссектриса угла B. В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle B = 90^{\circ} \).

\( \angle ABM = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ} \).

Угол между биссектрисой BM и высотой BH равен разности углов \( \angle ABM \) и \( \angle ABH \).

\( \angle MBH = |\angle ABM - \angle ABH| = |45^{\circ} - 57^{\circ}| = |-12^{\circ}| = 12^{\circ} \).

Ответ: 12