1. (№17) Сторона ромба равна 9, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 1. Найдите площадь этого ромба.

Решение:

• Точка пересечения диагоналей ромба является центром описанной окружности, если она существует. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам.
• Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба равно высоте, опущенной из этой точки на сторону.
• Пусть сторона ромба равна $$a=9$$. Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба равно $$h_1 = 1$$.
• Площадь ромба можно вычислить как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Однако, у нас нет этой высоты.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть диагонали равны $$d_1$$ и $$d_2$$.
• Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба равно половине высоты ромба, опущенной из вершины на эту сторону. Это неверно.
• Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба равно высоте треугольника, образованного стороной ромба и половинами диагоналей.
• Пусть $$O$$ - точка пересечения диагоналей. Пусть $$AB$$ - сторона ромба. Пусть $$OK$$ - перпендикуляр из $$O$$ к $$AB$$, $$OK=1$$.
• Площадь ромба равна $$S = \frac{1}{2}d_1 d_2$$.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Пусть половины диагоналей равны $$\frac{d_1}{2}$$ и $$\frac{d_2}{2}$$. Тогда $$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2 = 9^2 = 81$$.
• Площадь треугольника $$AOB$$ (где $$A$$ и $$B$$ - соседние вершины, $$O$$ - центр) равна $$\frac{1}{2} \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} = \frac{d_1 d_2}{8}$$.
• Площадь ромба $$S = 4 \cdot Area(AOB) = 4 \cdot \frac{d_1 d_2}{8} = \frac{d_1 d_2}{2}$$.
• Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба ($$OK=1$$) является высотой треугольника $$AOB$$ к гипотенузе $$AB$$.
• Площадь треугольника $$AOB$$ также равна $$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 1 = 4.5$$.
• Площадь ромба $$S = 4 \cdot Area(AOB) = 4 \cdot 4.5 = 18$$.

Ответ: 18