1.2 Точка E — середина стороны AB параллелограмма ABCD площадью 108. Найдите площадь треугольника AED.

Решение:

Площадь параллелограмма \( ABCD \) равна \( S_{ABCD} = 108 \).

Точка \( E \) — середина стороны \( AB \).

Площадь треугольника \( AED \) связана с площадью параллелограмма. Треугольник \( AED \) и треугольник \( EBC \) вместе с треугольником \( EDC \) составляют параллелограмм.

Если \( E \) — середина \( AB \), то \( AE = \frac{1}{2} AB \).

Высота параллелограмма \( h \), проведенная к основанию \( AB \) (или \( CD \)), также является высотой для треугольника \( AED \) (если рассматривать \( AD \) как основание, высота будет та же, что и для параллелограмма, опущенная на \( AD \)).

Рассмотрим \( AD \) как основание параллелограмма. Пусть \( h_D \) — высота, опущенная на \( AD \).

\( S_{ABCD} = AD \cdot h_D = 108 \).

Треугольник \( AED \) имеет основание \( AD \) и высоту \( h_E \), которая равна высоте параллелограмма, опущенной на \( AD \), если \( E \) лежит на \( AB \).

Другой подход: рассмотрим \( AB \) как основание. Пусть \( h \) — высота параллелограмма, опущенная на \( AB \).

\( S_{ABCD} = AB \cdot h = 108 \).

Площадь треугольника \( AED \) равна \( S_{AED} = \frac{1}{2} \text{основание} \times \text{высота} \).

Если взять \( AE \) как основание, то высота будет равна высоте параллелограмма, опущенной на \( AB \), то есть \( h \).

\( AE = \frac{1}{2} AB \).

\( S_{AED} = \frac{1}{2} AE \times h \)

\[ S_{AED} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} AB) \times h = \frac{1}{4} (AB \times h) \]

Так как \( AB \times h = S_{ABCD} = 108 \), то:

\[ S_{AED} = \frac{1}{4} \times 108 = 27 \text{ (кв. ед.)} \]

Ответ: Площадь треугольника AED равна 27.