1.4 В параллелограмме ABCD точка К — середина стороны AD. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь трапеции BCDK равна 51.

Решение:

В параллелограмме \( ABCD \) точка \( K \) — середина стороны \( AD \).

Площадь трапеции \( BCDK \) равна \( S_{BCDK} = 51 \).

Трапеция \( BCDK \) имеет основания \( BC \) и \( DK \), и высоту, равную высоте параллелограмма \( h \), опущенной на сторону \( AD \) (или \( BC \)).

Пусть \( BC = AD = a \). Тогда \( DK = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} a \).

Площадь трапеции \( BCDK \) вычисляется по формуле: \( S = \frac{\text{основание}_1 + \text{основание}_2}{2} \times \text{высота} \).

\( S_{BCDK} = \frac{BC + DK}{2} \times h \)

\[ 51 = \frac{a + \frac{1}{2}a}{2} \times h \]

\[ 51 = \frac{\frac{3}{2}a}{2} \times h \]

\[ 51 = \frac{3}{4} a \times h \]

Площадь параллелограмма \( ABCD \) равна \( S_{ABCD} = a \times h \).

Из уравнения для площади трапеции выразим \( a \times h \):

\[ a \times h = \frac{51 \times 4}{3} \]

\[ a \times h = 17 \times 4 \]

\[ a \times h = 68 \text{ (кв. ед.)} \]

Значит, площадь параллелограмма \( ABCD \) равна 68.

Альтернативный способ:

Площадь параллелограмма \( ABCD \) равна сумме площади трапеции \( BCDK \) и площади треугольника \( ABK \).

\( S_{ABCD} = S_{BCDK} + S_{ABK} \).

Площадь треугольника \( ABK \): основание \( AK = \frac{1}{2} AD \). Высота, опущенная на \( AD \) из \( B \), равна \( h \).

\( S_{ABK} = \frac{1}{2} \times AK \times h = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} AD) \times h = \frac{1}{4} (AD \times h) \).

Так как \( AD \times h = S_{ABCD} \), то \( S_{ABK} = \frac{1}{4} S_{ABCD} \).

Теперь подставим это в уравнение для площади параллелограмма:

\[ S_{ABCD} = S_{BCDK} + \frac{1}{4} S_{ABCD} \]

\( S_{ABCD} - \frac{1}{4} S_{ABCD} = S_{BCDK} \)

\[ \frac{3}{4} S_{ABCD} = 51 \]

\[ S_{ABCD} = \frac{51 \times 4}{3} = 17 \times 4 = 68 \text{ (кв. ед.)} \]

Ответ: Площадь параллелограмма ABCD равна 68.