1.21. \(\int\) \(\sqrt{3x}\)(2-3x)^2 dx

Решение:

Для решения этого интеграла преобразуем подынтегральную функцию:

\( \int \sqrt{3x}(2-3x)^2 dx = \int \sqrt{3} \sqrt{x} (4 - 12x + 9x^2) dx \)

\( = \sqrt{3} \int (4x^{1/2} - 12x^{3/2} + 9x^{5/2}) dx \)

Теперь проинтегрируем каждый член по отдельности, используя правило \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\( = \sqrt{3} \left( 4 \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - 12 \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} + 9 \frac{x^{5/2+1}}{5/2+1} \right) + C \)

\( = \sqrt{3} \left( 4 \frac{x^{3/2}}{3/2} - 12 \frac{x^{5/2}}{5/2} + 9 \frac{x^{7/2}}{7/2} \right) + C \)

\( = \sqrt{3} \left( \frac{8}{3}x^{3/2} - \frac{24}{5}x^{5/2} + \frac{18}{7}x^{7/2} \right) + C \)

Можно также выразить через корни:

\( = \sqrt{3} \left( \frac{8}{3}x\sqrt{x} - \frac{24}{5}x^2\sqrt{x} + \frac{18}{7}x^3\sqrt{x} \right) + C \)

Вынесем \( \sqrt{x} \) за скобки:

\( = \sqrt{3x} \left( \frac{8}{3}x - \frac{24}{5}x^2 + \frac{18}{7}x^3 \right) + C \)

Ответ: \( \sqrt{3} \left( \frac{8}{3}x^{3/2} - \frac{24}{5}x^{5/2} + \frac{18}{7}x^{7/2} \right) + C \).