1.27. \(\int\) \(\frac{2}{2+3x^2}\) dx

Решение:

Преобразуем знаменатель, чтобы привести интеграл к табличному виду \( \int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C \) или \( \int \frac{dx}{a^2+b^2x^2} \).

Вынесем константу 2 за знак интеграла:

\( \int \frac{2}{2+3x^2} dx = 2 \int \frac{1}{2+3x^2} dx \)

Теперь вынесем 2 из знаменателя:

\( = 2 \int \frac{1}{2(1 + \frac{3}{2}x^2)} dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \frac{3}{2}x^2} dx = \int \frac{1}{1 + (\sqrt{\frac{3}{2}}x)^2} dx \)

Сделаем замену переменной: \( u = \sqrt{\frac{3}{2}}x \). Тогда \( du = \sqrt{\frac{3}{2}} dx \), откуда \( dx = \frac{du}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3}} du \).

Интеграл становится:

\( \int \frac{1}{1 + u^2} \sqrt{\frac{2}{3}} du = \sqrt{\frac{2}{3}} \int \frac{1}{1 + u^2} du \)

Применяем табличный интеграл \( \int \frac{1}{1+u^2} du = \arctan(u) + C \):

\( = \sqrt{\frac{2}{3}} \arctan(u) + C \)

Подставим обратно \( u = \sqrt{\frac{3}{2}}x \):

\( = \sqrt{\frac{2}{3}} \arctan(\sqrt{\frac{3}{2}}x) + C \)

Можно также записать \( \sqrt{\frac{2}{3}} \) как \( \frac{\sqrt{6}}{3} \) и \( \sqrt{\frac{3}{2}} \) как \( \frac{\sqrt{6}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{6}}{3} \arctan(\frac{\sqrt{6}}{2}x) + C \).