1.23. \(\int\) \(\frac{x^{1/3} + x^{1/4} - x^{1/2}}{x}\) dx

Решение:

Разделим каждый член числителя на \( x \) (что эквивалентно \( x^1 \)) для упрощения:

\( \frac{x^{1/3} + x^{1/4} - x^{1/2}}{x^1} = x^{1/3 - 1} + x^{1/4 - 1} - x^{1/2 - 1} \)

\( = x^{-2/3} + x^{-3/4} - x^{-1/2} \)

Теперь проинтегрируем полученное выражение, используя правило \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\( \int (x^{-2/3} + x^{-3/4} - x^{-1/2}) dx \)

\( = \frac{x^{-2/3+1}}{-2/3+1} + \frac{x^{-3/4+1}}{-3/4+1} - \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C \)

\( = \frac{x^{1/3}}{1/3} + \frac{x^{1/4}}{1/4} - \frac{x^{1/2}}{1/2} + C \)

\( = 3x^{1/3} + 4x^{1/4} - 2x^{1/2} + C \)

Можно также записать с использованием корней:

\( = 3\sqrt[3]{x} + 4\sqrt[4]{x} - 2\sqrt{x} + C \)

Ответ: \( 3x^{1/3} + 4x^{1/4} - 2x^{1/2} + C \).