1.254. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения: a) (4√3 + √32)√2; в) (3√7 + √27)√3 - 3√21;

Решение:

a) (4√3 + √32)√2

1. Упростим √32: \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \).
2. Подставим в выражение: \( (4\sqrt{3} + 4\sqrt{2})\sqrt{2} \).
3. Раскроем скобки: \( 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{6} + 4 \cdot 2 = 4\sqrt{6} + 8 \).
4. Так как \( \sqrt{6} \) — иррациональное число, то \( 4\sqrt{6} + 8 \) — иррациональное число.

в) (3√7 + √27)√3 - 3√21

1. Упростим √27: \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \).
2. Подставим в выражение: \( (3\sqrt{7} + 3\sqrt{3})\sqrt{3} - 3\sqrt{21} \).
3. Раскроем скобки: \( 3\sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 3\sqrt{21} \).
4. Упростим: \( 3\sqrt{21} + 3 \cdot 3 - 3\sqrt{21} \).
5. Выполним упрощение: \( 3\sqrt{21} + 9 - 3\sqrt{21} = 9 \).
6. Число 9 — рациональное.

Ответ: a) иррациональным; в) рациональным.