1.256. Периметр прямоугольника равен 12 см, а длина одной из его сторон равна (√3 + 1) см. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле \( P = 2(a+b) \), где \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника.

1. Найдём сумму длин двух сторон: \( a + b = \frac{P}{2} \).
2. Подставим данные: \( a + b = \frac{12}{2} = 6 \) см.
3. Пусть одна сторона \( a = \sqrt{3} + 1 \) см.
4. Найдём длину второй стороны \( b \): \( b = 6 - a = 6 - (\sqrt{3} + 1) = 6 - \sqrt{3} - 1 = 5 - \sqrt{3} \) см.
5. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле \( S = a \cdot b \).
6. Подставим значения сторон: \( S = (\sqrt{3} + 1)(5 - \sqrt{3}) \).
7. Раскроем скобки: \( S = \sqrt{3} \cdot 5 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot 5 - 1 \cdot \sqrt{3} \)
8. Упростим: \( S = 5\sqrt{3} - 3 + 5 - \sqrt{3} \)
9. Сгруппируем и вычислим: \( S = (5\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (-3 + 5) = 4\sqrt{3} + 2 \) см².

Ответ: 2 + 4√3 см².