1.255. Выполните умножение: a) (√6 + 2)(√6 - 1); б) (3√5 - 2)(√5 + 5); д) (3√2 + √3)(√2 - √3);

Решение:

a) (√6 + 2)(√6 - 1)

Используем правило умножения многочленов (каждый член первой скобки умножаем на каждый член второй скобки):

\( (\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 1) = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 1 + 2 \cdot \sqrt{6} - 2 \cdot 1 \)
\( = 6 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 2 \)
\( = (6 - 2) + (-1 + 2)\sqrt{6} \)
\( = 4 + \sqrt{6} \)

б) (3√5 - 2)(√5 + 5)

Аналогично раскрываем скобки:

\( (3\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 5) = 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + 3\sqrt{5} \cdot 5 - 2 \cdot \sqrt{5} - 2 \cdot 5 \)
\( = 3 \cdot 5 + 15\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 10 \)
\( = 15 + (15 - 2)\sqrt{5} - 10 \)
\( = (15 - 10) + 13\sqrt{5} \)
\( = 5 + 13\sqrt{5} \)

д) (3√2 + √3)(√2 - √3)

Это разность квадратов по формуле \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \), где \( a = \sqrt{2} \) и \( b = \sqrt{3} \) (или можно раскрыть скобки как обычно, но заменим \(3\sqrt{2}\) на \(\sqrt{18}\) и \(\sqrt{3}\) как \(\sqrt{3}\), чтобы использовать разность квадратов, или применим формулу разности квадратов после раскрытия первой скобки):

\( (3\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = (3\sqrt{2})\sqrt{2} - (3\sqrt{2})\sqrt{3} + \sqrt{3}\sqrt{2} - \sqrt{3}\sqrt{3} \)
\( = 3 \cdot 2 - 3\sqrt{6} + \sqrt{6} - 3 \)
\( = 6 - 2\sqrt{6} - 3 \)
\( = (6 - 3) - 2\sqrt{6} \)
\( = 3 - 2\sqrt{6} \)

Ответ: a) 4 + √6; б) 5 + 13√5; д) 3 - 2√6.