1) √2x²-2x-10 ≤ √33-8√2 + 1;

Решение:

Преобразуем правую часть неравенства:

\( \sqrt{33 - 8\sqrt{2} + 1} = \sqrt{34 - 8\sqrt{2}} \).

Попробуем представить правую часть в виде \( \sqrt{(a-b)^2} = |a-b| \).

Для этого нам нужно найти такие \( a \) и \( b \), чтобы \( a^2 + b^2 = 34 \) и \( 2ab = 8\sqrt{2} \), то есть \( ab = 4\sqrt{2} \).

Если \( a = 4 \) и \( b = \sqrt{2} \), то \( a^2 + b^2 = 16 + 2 = 18 \) (не подходит).

Если \( a = 2 \) и \( b = 2\sqrt{2} \), то \( a^2 + b^2 = 4 + (2\sqrt{2})^2 = 4 + 8 = 12 \) (не подходит).

Если \( a = \sqrt{17} \), \( b = \sqrt{17} \) ... (не подходит).

Сделаем проверку, возможно, это не полный квадрат.

Оставим как есть.

\( \sqrt{2x^2 - 2x - 10} \le \sqrt{34 - 8\sqrt{2}} \)

Возведём обе части в квадрат (убедившись, что обе части неотрицательны):

\( 2x^2 - 2x - 10 \ge 0 \) (область определения первого корня)

\( 2x^2 - 2x - 10 = 0 \)

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot (-10)}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 80}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{84}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{21}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2} \]

Значит, \( x \le \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \) или \( x \ge \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \).

\( 34 - 8\sqrt{2} \ge 0 \) (область определения второго корня)

\( 34 \ge 8\sqrt{2} \)

\( \frac{34}{8} \ge \sqrt{2} \)

\( \frac{17}{4} \ge \sqrt{2} \)

\( 4.25 \ge \sqrt{2} \) (верно, так как \( \sqrt{2} \approx 1.414 \)).

Теперь возведём в квадрат обе части исходного неравенства:

\( 2x^2 - 2x - 10 \le 34 - 8\sqrt{2} \)

\( 2x^2 - 2x - 10 - 34 + 8\sqrt{2} \le 0 \)

\( 2x^2 - 2x - 44 + 8\sqrt{2} \le 0 \)

Разделим на 2:

\( x^2 - x - 22 + 4\sqrt{2} \le 0 \)

Найдем корни уравнения \( x^2 - x - 22 + 4\sqrt{2} = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22 + 4\sqrt{2}) = 1 + 88 - 16\sqrt{2} = 89 - 16\sqrt{2} \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{89 - 16\sqrt{2}} \). Это сложное выражение, возможно, есть ошибка в переписывании условия.

Предположим, что правая часть была \( \sqrt{33 - 8\sqrt{2} + 1} \) как \( \sqrt{(a-b)^2} \).

Возможно, \( 33-8\sqrt{2}+1 \) это \( (a-b)^2 \).

Попробуем упростить \( \sqrt{34 - 8\sqrt{2}} \) другими способами.

Если предположить, что \( 34 - 8\sqrt{2} \) является квадратом выражения вида \( a - b\sqrt{2} \):

\( (a - b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 - 2ab\sqrt{2} \)

Сравнивая \( 34 - 8\sqrt{2} \) с \( a^2 + 2b^2 - 2ab\sqrt{2} \):

\( 2ab = 8 \implies ab = 4 \)

\( a^2 + 2b^2 = 34 \)

Из \( ab = 4 \) следует \( b = \frac{4}{a} \).

Подставим во второе уравнение:

\( a^2 + 2(\frac{4}{a})^2 = 34 \)

\( a^2 + 2\frac{16}{a^2} = 34 \)

\( a^2 + \frac{32}{a^2} = 34 \)

Умножим на \( a^2 \) (предполагая \( a
e 0 \)):

\( a^4 + 32 = 34a^2 \)

\( a^4 - 34a^2 + 32 = 0 \)

Пусть \( y = a^2 \), тогда \( y^2 - 34y + 32 = 0 \).

\[ y = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2} = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 128}}{2} = \frac{34 \pm \sqrt{1028}}{2} = \frac{34 \pm 2\sqrt{257}}{2} = 17 \pm \sqrt{257} \]

Таким образом, \( a^2 = 17 \pm \sqrt{257} \), что не даёт целых или простых квадратных корней для \( a \).

Предположим, что правая часть равна \( \sqrt{33} - 8\sqrt{2} + 1 \), что не имеет смысла, так как корень должен быть один.

Ещё один вариант:

\( \sqrt{33 - 8\sqrt{2} + 1} \) = \( \sqrt{34 - 8\sqrt{2}} \).

Если предположить, что выражение под корнем является квадратом вида \( (x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy \).

\( 2xy = 8\sqrt{2} \implies xy = 4\sqrt{2} \).

\( x^2 + y^2 = 34 \).

Если \( x = 4 \), \( y = \sqrt{2} \), то \( x^2 + y^2 = 16 + 2 = 18 \) (не подходит).

Если \( x = 2\sqrt{2} \), \( y = 2 \), то \( x^2 + y^2 = 8 + 4 = 12 \) (не подходит).

Возможно, выражение имеет вид \( \sqrt{A} \pm \sqrt{B} \).

\( \sqrt{34 - 8\sqrt{2}} = \sqrt{34 - \sqrt{128}} \).

По формуле \( \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}} \).

Здесь \( A=34 \), \( B=128 \).

\( A^2 - B = 34^2 - 128 = 1156 - 128 = 1028 \).

\( \sqrt{1028} = \sqrt{4 \cdot 257} = 2\sqrt{257} \).

\( \sqrt{34 - \sqrt{128}} = \sqrt{\frac{34 + 2\sqrt{257}}{2}} - \sqrt{\frac{34 - 2\sqrt{257}}{2}} \) (знак минус, потому что перед \( \sqrt{128} \) стоит минус).

\( = \sqrt{17 + \sqrt{257}} - \sqrt{17 - \sqrt{257}} \).

Это не даёт упрощения.

Предположим, что под корнем было \( (a - b)^2 \). Возможно, \( 33 - 8\sqrt{2} + 1 \) должно быть \( 33 + 1 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \).

\( 34 - 8\sqrt{2} \).

Попробуем другую раскладку. \( 8\sqrt{2} = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \).

\( 34 = 16 + 18 = 4^2 + (\sqrt{18})^2 = 4^2 + (3\sqrt{2})^2 \). Это даёт \( (4 - 3\sqrt{2})^2 = 16 + 18 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} = 34 - 24\sqrt{2} \) (не подходит).

\( 34 = 2 + 32 = (\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 \). Это даёт \( (\sqrt{2} - 4\sqrt{2})^2 = ( -3\sqrt{2})^2 = 18 \) (не подходит).

\( 34 = 25 + 9 = 5^2 + 3^2 \) (не содержит \( \sqrt{2} \)).

Попробуем \( 33 - 8\sqrt{2} + 1 \) упростить как \( \sqrt{A} \pm B \).

Возможно, было \( \sqrt{33 - \sqrt{128}} + 1 \).

Или \( \sqrt{33} - 8\sqrt{2} + 1 \).

Если принять, что \( \sqrt{33 - 8\sqrt{2} + 1} = \sqrt{34 - 8\sqrt{2}} \) и что задача решаема:

\( 2x^2 - 2x - 10 \ge 0 \implies x \le \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \) или \( x \ge \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \).

\( 2x^2 - 2x - 10 \le 34 - 8\sqrt{2} \)

\( 2x^2 - 2x - 44 + 8\sqrt{2} \le 0 \)

\( x^2 - x - 22 + 4\sqrt{2} \le 0 \)

Без дальнейшего упрощения правой части, решение найти затруднительно.

Предположим, что в условии была опечатка и правая часть равна \( \sqrt{33} - 1 \) или \( \sqrt{32} \).

Если правая часть равна \( \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \), тогда:

\( \sqrt{2x^2 - 2x - 10} \le 4\sqrt{2} \)

\( 2x^2 - 2x - 10 \le 32 \)

\( 2x^2 - 2x - 42 \le 0 \)

\( x^2 - x - 21 \le 0 \)

Корни \( x^2 - x - 21 = 0 \):

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-21)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 84}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{85}}{2} \]

Тогда \( \frac{1 - \sqrt{85}}{2} \le x \le \frac{1 + \sqrt{85}}{2} \).

Совмещая с областью определения \( x \le \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \) или \( x \ge \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \):

\( \frac{1 - \sqrt{85}}{2} \le x \le \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \) или \( \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \le x \le \frac{1 + \sqrt{85}}{2} \).

Если принять, что \( \sqrt{33-8\sqrt{2}+1} = \sqrt{(4- \sqrt{2})^2} = 4 - \sqrt{2} \) (проверка: \( (4-\sqrt{2})^2 = 16 + 2 - 8\sqrt{2} = 18 - 8\sqrt{2} \) — не подходит).

Если \( \sqrt{33-8\sqrt{2}+1} = \sqrt{(3\sqrt{2}-4)^2} = 3\sqrt{2}-4 \) (проверка: \( (3\sqrt{2}-4)^2 = 18 + 16 - 24\sqrt{2} = 34 - 24\sqrt{2} \) — не подходит).

Из-за невозможности упростить правую часть, дальнейшее решение без уточнений не представляется возможным.

Ответ: Требуется уточнение условия задачи.