1) (8-3√7)^x ≤ (8+3√7)^(5/(x-6)) .

Решение:

Рассмотрим основание степеней: \( 8 - 3\sqrt{7} \) и \( 8 + 3\sqrt{7} \).

Вычислим значение \( 3\sqrt{7} \): \( (3\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63 \).

Значит, \( 3\sqrt{7} = \sqrt{63} \).

Так как \( 8 = \sqrt{64} \), то \( 8 > 3\sqrt{7} \).

Следовательно, \( 0 < 8 - 3\sqrt{7} < 1 \).

Также \( 8 + 3\sqrt{7} > 1 \).

Заметим, что \( (8 - 3\sqrt{7})(8 + 3\sqrt{7}) = 8^2 - (3\sqrt{7})^2 = 64 - 63 = 1 \).

Это означает, что \( 8 + 3\sqrt{7} = \frac{1}{8 - 3\sqrt{7}} = (8 - 3\sqrt{7})^{-1} \).

Подставим это в исходное неравенство:

\( (8 - 3\sqrt{7})^x \le ((8 - 3\sqrt{7})^{-1})^{\frac{5}{x-6}} \)

\( (8 - 3\sqrt{7})^x \le (8 - 3\sqrt{7})^{-\frac{5}{x-6}} \)

Так как основание степени \( 8 - 3\sqrt{7} \) меньше 1, при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

\( x \ge -\frac{5}{x-6} \)

Перенесём всё в одну часть:

\( x + \frac{5}{x-6} \ge 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{x(x-6) + 5}{x-6} \ge 0 \)

\( \frac{x^2 - 6x + 5}{x-6} \ge 0 \)

Разложим числитель на множители: \( x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5) \).

Получаем дробно-рациональное неравенство:

\( \frac{(x-1)(x-5)}{x-6} \ge 0 \)

Найдем корни числителя и знаменателя: \( x=1, x=5, x=6 \).

Рассмотрим знаки на интервалах:

• \( x < 1 \): \( \frac{(-)(-) }{(-)} = \frac{(+)}{(-)} = - \) (не подходит)
• \( 1 \le x < 5 \): \( \frac{(+)(-) }{(-)} = \frac{(-)}{(-)} = + \) (подходит)
• \( 5 \le x < 6 \): \( \frac{(+)(+)}{(-)} = \frac{(+)}{(-)} = - \) (не подходит)
• \( x > 6 \): \( \frac{(+)(+)}{(+)} = \frac{(+)}{(+)} = + \) (подходит)

Учитываем, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x
e 6 \). Числитель может быть равен нулю, поэтому \( x=1 \) и \( x=5 \) включаются в решение.

Таким образом, решение неравенства:

\( 1 \le x < 5 \) или \( x > 6 \).

Ответ: \( x \in [1; 5) \cup (6; +\infty) \).