1.30. Решите системы: 1) \(\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=4,\\x+y-3\sqrt{xy}=1;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\dfrac{1}{y-1}-\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{x},\\y^2-x-9=0;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}x+y=5,\\x^3+y^3=35.\end{cases}\)

1) Положим \(a=\sqrt{x}\), \(b=\sqrt{y}\), где \(a,b\ge 0\). Тогда \(a+b=4\), а второе уравнение принимает вид \(a^2+b^2-3ab=1\). Из \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) получаем \(16-5ab=1\), значит, \(ab=3\). Числа \(a,b\) — корни уравнения \(t^2-4t+3=0\), то есть 1 и 3. Следовательно, \((x,y)=(1,9)\) или \((9,1)\).

2) Область допустимых значений: \(y\ne1\), \(y\ne-1\), \(x\ne0\). Преобразуем первое уравнение: \(\dfrac{1}{y-1}-\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{2}{y^2-1}=\dfrac1x\), поэтому \(x=\dfrac{y^2-1}{2}\). Из второго уравнения \(x=y^2-9\). Приравниваем выражения для \(x\): \(\dfrac{y^2-1}{2}=y^2-9\), откуда \(y^2=17\), то есть \(y=\pm\sqrt{17}\). Тогда \(x=8\). Оба значения \(y\) допустимы.

3) Используем тождество \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\). Так как \(x+y=5\), получаем \(x^2-xy+y^2=7\). При этом \((x+y)^2-3xy=7\), значит, \(25-3xy=7\) и \(xy=6\). Следовательно, \(x,y\) — корни уравнения \(t^2-5t+6=0\), откуда \(t=2\) или \(t=3\).

Ответ: 1) \((1;9), (9;1)\); 2) \((8;\sqrt{17}), (8;-\sqrt{17})\); 3) \((2;3), (3;2)\).