Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 1.31. Решите системы: 1) \(\begin{cases}2x^2-3xy-19y^2=25,\\x^2-6y^2=250;\end{cases}\) 2)…Фото задания

Ответ:

1) Вычтем из первого уравнения удвоенное второе: \(-3xy-7y^2=-475\), то есть \(3xy+7y^2=475\). Совместно с исходной системой можно найти значения; подстановка и исключение дают \(y=\pm5\). При \(y=5\): из \(x^2-6y^2=250\) следует \(x^2=400\), а первое уравнение требует \(2x^2-15x-475=0\), откуда \(x=20\) или \(x=-\frac{19}{2}\); проверка второго уравнения оставляет только \(x=20\). При \(y=-5\) аналогичная проверка оставляет \(x=20\). Однако \((20,-5)\) не удовлетворяет первому уравнению: значение равно \(800+300-475=625\ne25\). Перепроверим исключение: при \(y=5\), первое уравнение с \(x^2=400\) даёт \(800-15x-475=25\), значит \(15x=300\), \(x=20\); при \(y=-5\) оно даёт \(800+15x-475=25\), значит \(x=-20\). Обе пары удовлетворяют второму уравнению.

2) Второе уравнение, умноженное на 8, имеет вид \(8x^2-\frac{20}{3}xy+7y^2=144\). Удобнее вычесть из первого уравнения 7,5-кратное второе исходное: получаем \(-\frac32x^2-\frac34xy+\frac{45}{8}y^2=-27\), то есть \(4x^2+2xy-15y^2=72\). Решение совместно с исходной системой даёт \((x,y)=(6,0),(-6,0)\): при \(y=0\) первое уравнение даёт \(x^2=108/7\), поэтому эти пары не подходят. Система преобразуется к отношениям с несколькими возможными корнями; надёжно исключив переменную, получаем решения \((6,0),(-6,0)\) не удовлетворяют первому уравнению, следовательно, нужно решить точно: умножим второе на 24: \(24x^2-20xy+21y^2=432\). Умножим первое на 3: \(21x^2-18xy+36y^2=324\). Вычитание даёт \(3x^2-2xy-15y^2=108\). Решение этой пары квадратных уравнений требует дополнительного устранения переменной; результат: \((x,y)=(6,0),(-6,0)\) не проходит исходные уравнения, поэтому корректного простого вывода здесь недостаточно.

Ответ: для первого подпункта решения \((20;5),(-20;-5)\). Во втором подпункте приведённые вычисления не устанавливают полный набор решений однозначно; требуется аккуратное решение системы.