1.4. Какие из уравнений равносильны? а) $4x-3y=18$, $x=0,75y+6$, $y=6-1\frac13x$; б) $x^2+y-2x+3=0$, $y=-2-(x-1)^2$, $x=\sqrt{y-2}+1$; в) $xy=-6$, $y=-\frac6x$, $xy+4=-2$; г) $2x+3y=9$, $y=3-\frac23x$, $x=3+1,5y$; д) $x^2+y-4x+2=0$, $y=(x-2)^2+2$, $x=\sqrt{y-2}+2$; е) $xy=8$, $y=\frac8x$, $xy-5=3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.4. Какие из уравнений равносильны? а) $4x-3y=18$, $x=0,75y+6$, $y=6-1\frac13x$; б) $x^2+y-2x+3=0$,…$ Фото задания

1.4. Какие из уравнений равносильны? а) $4x-3y=18$, $x=0,75y+6$, $y=6-1\frac13x$; б) $x^2+y-2x+3=0$, $y=-2-(x-1)^2$, $x=\sqrt{y-2}+1$; в) $xy=-6$, $y=-\frac6x$, $xy+4=-2$; г) $2x+3y=9$, $y=3-\frac23x$, $x=3+1,5y$; д) $x^2+y-4x+2=0$, $y=(x-2)^2+2$, $x=\sqrt{y-2}+2$; е) $xy=8$, $y=\frac8x$, $xy-5=3$.

Accepted Answer

Равносильные уравнения имеют одинаковые множества решений.

а) Ни одна пара не равносильна: первое уравнение задаёт $y=\frac43x-6$, второе — $x=0,75y+6$, третье — $y=6-\frac43x$.

б) Первое преобразуется к $y=-2-(x-1)^2$, поэтому первые два уравнения равносильны. В третьем $x=1+\sqrt{y-2}$ накладывает ограничение $x\ge1$ и задаёт другую зависимость.

в) При $xy=-6$ обязательно $x\ne0$, поэтому оно равносильно $y=-\frac6x$. Уравнение $xy+4=-2$ после упрощения также даёт $xy=-6$. Равносильны все три.

г) Первое уравнение преобразуется к $y=3-\frac23x$, значит, первые два равносильны. Третье задаёт другое множество решений.

д) Первое даёт $y=-(x-2)^2+2$, поэтому оно не равносильно второму. Третье задаёт $y=(x-2)^2+2$ при $x\ge2$, поэтому с первыми двумя также не равносильно.

е) Первые два уравнения равносильны при условии $x\ne0$, которое следует из $xy=8$. Третье после упрощения также даёт $xy=8$. Равносильны все три.

Ответ: б) первые два; в) все три; г) первые два; е) все три.