1.5. Найдите среди уравнений равносильные: а) $\frac{x^2-9y^2}{x+4y}=0$, $x^2-9y^2=0$, $x-3y=0$; б) $\sqrt{3x+y}=2$, $3x+y=4$, $|3x+y|=2$; в) $\frac{x^2+12xy+36y^2}{x+6y}=0$, $x^2+y^2+1=0$, $x+6y=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.5. Найдите среди уравнений равносильные: а) $\frac{x^2-9y^2}{x+4y}=0$, $x^2-9y^2=0$, $x-3y=0$; б)…$ Фото задания

1.5. Найдите среди уравнений равносильные: а) $\frac{x^2-9y^2}{x+4y}=0$, $x^2-9y^2=0$, $x-3y=0$; б) $\sqrt{3x+y}=2$, $3x+y=4$, $|3x+y|=2$; в) $\frac{x^2+12xy+36y^2}{x+6y}=0$, $x^2+y^2+1=0$, $x+6y=0$.

Accepted Answer

а) В первом уравнении знаменатель не должен равняться нулю. Числитель раскладывается: $x^2-9y^2=(x-3y)(x+3y)$. Первое уравнение задаёт обе прямые $x=3y$ и $x=-3y$, но исключает точку $(0;0)$. Второе задаёт обе прямые целиком, а третье — только прямую $x=3y$. Равносильных пар нет.

б) Из $\sqrt{3x+y}=2$ следует $3x+y=4$, и обратно это равенство гарантирует допустимость корня. Первые два уравнения равносильны. Уравнение $|3x+y|=2$ допускает также значение $3x+y=-2$, поэтому с ними не равносильно.

в) В дроби числитель равен $(x+6y)^2$. При условии $x+6y\ne0$ дробь не может быть равна нулю, то есть решений у первого уравнения нет. У второго уравнения нет действительных решений, так как $x^2+y^2+1>0$. Третье уравнение задаёт прямую и имеет решения.

Ответ: б) $\sqrt{3x+y}=2$ и $3x+y=4$; в) первые два уравнения равносильны, так как оба не имеют действительных решений.

1.5. Найдите среди уравнений равносильные: а) \(\frac{x^2-9y^2}{x+4y}=0\), \(x^2-9y^2=0\), \(x-3y=0\); б) \(\sqrt{3x+y}=2\), \(3x+y=4\), \(|3x+y|=2\); в) \(\frac{x^2+12xy+36y^2}{x+6y}=0\), \(x^2+y^2+1=0\), \(x+6y=0\).

Ответ: