1.46. Найдите, во сколько раз: а) 100¹¹ больше, чем 1000⁷; б) 81²⁴ меньше, чем 27³³.

Решение:

а) Чтобы найти, во сколько раз одно число больше другого, нужно большее число разделить на меньшее.

Представим 1000 как степень числа 10:

\[ 1000 = 10^3 \]

Тогда:

\[ 1000^7 = (10^3)^7 = 10^{3 \times 7} = 10^{21} \]

Теперь представим 100 как степень числа 10:

\[ 100 = 10^2 \]

Тогда:

\[ 100^{11} = (10^2)^{11} = 10^{2 \times 11} = 10^{22} \]

Теперь находим отношение:

\[ \frac{100^{11}}{1000^7} = \frac{10^{22}}{10^{21}} = 10^{22-21} = 10^1 = 10 \]

Значит, 100¹¹ больше, чем 1000⁷, в 10 раз.

б) Чтобы найти, во сколько раз одно число меньше другого, нужно большее число разделить на меньшее.

Представим 81 и 27 как степени числа 3:

\[ 81 = 3^4 \] \[ 27 = 3^3 \]

Тогда:

\[ 81^{24} = (3^4)^{24} = 3^{4 \times 24} = 3^{96} \] \[ 27^{33} = (3^3)^{33} = 3^{3 \times 33} = 3^{99} \]

Теперь находим отношение:

\[ \frac{27^{33}}{81^{24}} = \frac{3^{99}}{3^{96}} = 3^{99-96} = 3^3 = 27 \]

Значит, 81²⁴ меньше, чем 27³³, в 27 раз.

Ответ: а) в 10 раз; б) в 27 раз.