1.48. Представьте выражение в виде степени с основанием 2: a) $$\frac{2 \cdot 8^5}{32}$$; б) $$\frac{8^4 \cdot 16^5}{4^5}$$; в) $$\frac{64^3 \cdot 16^2}{128}$$; г) $$\frac{64^9}{8^3 \cdot 32^2}$$.

Решение:

Для решения этой задачи представим все числа в виде степеней двойки:

8 = 2³

16 = 2⁴

32 = 2⁵

64 = 2⁶

128 = 2⁷

а) \[ \frac{2 \cdot 8^5}{32} = \frac{2^1 \cdot (2^3)^5}{2^5} = \frac{2^1 \cdot 2^{3 \times 5}}{2^5} = \frac{2^1 \cdot 2^{15}}{2^5} = \frac{2^{1+15}}{2^5} = \frac{2^{16}}{2^5} = 2^{16-5} = 2^{11} \]

б) \[ \frac{8^4 \cdot 16^5}{4^5} = \frac{(2^3)^4 \cdot (2^4)^5}{(2^2)^5} = \frac{2^{3 \times 4} \cdot 2^{4 \times 5}}{2^{2 \times 5}} = \frac{2^{12} \cdot 2^{20}}{2^{10}} = \frac{2^{12+20}}{2^{10}} = \frac{2^{32}}{2^{10}} = 2^{32-10} = 2^{22} \]

в) \[ \frac{64^3 \cdot 16^2}{128} = \frac{(2^6)^3 \cdot (2^4)^2}{2^7} = \frac{2^{6 \times 3} \cdot 2^{4 \times 2}}{2^7} = \frac{2^{18} \cdot 2^8}{2^7} = \frac{2^{18+8}}{2^7} = \frac{2^{26}}{2^7} = 2^{26-7} = 2^{19} \]

г) \[ \frac{64^9}{8^3 \cdot 32^2} = \frac{(2^6)^9}{(2^3)^3 \cdot (2^5)^2} = \frac{2^{6 \times 9}}{2^{3 \times 3} \cdot 2^{5 \times 2}} = \frac{2^{54}}{2^9 \cdot 2^{10}} = \frac{2^{54}}{2^{9+10}} = \frac{2^{54}}{2^{19}} = 2^{54-19} = 2^{35} \]

Ответ: а) 2¹¹; б) 2²²; в) 2¹⁹; г) 2³⁵.