1.49. Найдите значение выражения: a) $$\frac{8 \cdot (2^3)^2}{16^2}$$; б) $$\frac{9^6}{(3^3)^3 \cdot 27}$$; в) $$\frac{100^3 \cdot 1000^2}{(10^5)^2}$$; г) $$\frac{8^5}{4^5 \cdot 2^4}$$; д) $$\frac{(5^2)^4 \cdot 625^2}{125^5}$$; e) $$\frac{9^3 \cdot 27^4}{81^5}$$; ж) $$\frac{625^4}{25^3 \cdot 5^9}$$; з) $$\frac{1000^4}{100^2 \cdot 10^5}$$; и) $$\frac{125^4 \cdot 25^5}{625^2 \cdot 5^{12}}$$.

Решение:

а) \[ \frac{8 \cdot (2^3)^2}{16^2} = \frac{2^3 \cdot 2^{3 \times 2}}{(2^4)^2} = \frac{2^3 \cdot 2^6}{2^{4 \times 2}} = \frac{2^{3+6}}{2^8} = \frac{2^9}{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 = 2 \]

б)

Представим все числа как степени тройки: 9 = 3², 3³ = 27, 27 = 3³.

\[ \frac{9^6}{(3^3)^3 \cdot 27} = \frac{(3^2)^6}{3^{3 \times 3} \cdot 3^3} = \frac{3^{12}}{3^9 \cdot 3^3} = \frac{3^{12}}{3^{9+3}} = \frac{3^{12}}{3^{12}} = 3^{12-12} = 3^0 = 1 \]

в)

Представим все числа как степени десятки: 100 = 10², 1000 = 10³.

\[ \frac{100^3 \cdot 1000^2}{(10^5)^2} = \frac{(10^2)^3 \cdot (10^3)^2}{10^{5 \times 2}} = \frac{10^{2 \times 3} \cdot 10^{3 \times 2}}{10^{10}} = \frac{10^6 \cdot 10^6}{10^{10}} = \frac{10^{6+6}}{10^{10}} = \frac{10^{12}}{10^{10}} = 10^{12-10} = 10^2 = 100 \]

г)

Представим все числа как степени двойки: 8 = 2³, 4 = 2².

\[ \frac{8^5}{4^5 \cdot 2^4} = \frac{(2^3)^5}{(2^2)^5 \cdot 2^4} = \frac{2^{3 \times 5}}{2^{2 \times 5} \cdot 2^4} = \frac{2^{15}}{2^{10} \cdot 2^4} = \frac{2^{15}}{2^{10+4}} = \frac{2^{15}}{2^{14}} = 2^{15-14} = 2^1 = 2 \]

д)

Представим все числа как степени пятерки: 625 = 5⁴, 125 = 5³.

\[ \frac{(5^2)^4 \cdot 625^2}{125^5} = \frac{5^{2 \times 4} \cdot (5^4)^2}{(5^3)^5} = \frac{5^8 \cdot 5^{4 \times 2}}{5^{3 \times 5}} = \frac{5^8 \cdot 5^8}{5^{15}} = \frac{5^{8+8}}{5^{15}} = \frac{5^{16}}{5^{15}} = 5^{16-15} = 5^1 = 5 \]

е)

Представим все числа как степени тройки: 9 = 3², 27 = 3³, 81 = 3⁴.

\[ \frac{9^3 \cdot 27^4}{81^5} = \frac{(3^2)^3 \cdot (3^3)^4}{(3^4)^5} = \frac{3^{2 \times 3} \cdot 3^{3 \times 4}}{3^{4 \times 5}} = \frac{3^6 \cdot 3^{12}}{3^{20}} = \frac{3^{6+12}}{3^{20}} = \frac{3^{18}}{3^{20}} = 3^{18-20} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]

ж)

Представим все числа как степени пятерки: 625 = 5⁴, 25 = 5².

\[ \frac{625^4}{25^3 \cdot 5^9} = \frac{(5^4)^4}{(5^2)^3 \cdot 5^9} = \frac{5^{4 \times 4}}{5^{2 \times 3} \cdot 5^9} = \frac{5^{16}}{5^6 \cdot 5^9} = \frac{5^{16}}{5^{6+9}} = \frac{5^{16}}{5^{15}} = 5^{16-15} = 5^1 = 5 \]

з)

Представим все числа как степени десятки: 1000 = 10³, 100 = 10².

\[ \frac{1000^4}{100^2 \cdot 10^5} = \frac{(10^3)^4}{(10^2)^2 \cdot 10^5} = \frac{10^{3 \times 4}}{10^{2 \times 2} \cdot 10^5} = \frac{10^{12}}{10^4 \cdot 10^5} = \frac{10^{12}}{10^{4+5}} = \frac{10^{12}}{10^9} = 10^{12-9} = 10^3 = 1000 \]

и)

Представим все числа как степени пятерки: 125 = 5³, 25 = 5², 625 = 5⁴.

\[ \frac{125^4 \cdot 25^5}{625^2 \cdot 5^{12}} = \frac{(5^3)^4 \cdot (5^2)^5}{(5^4)^2 \cdot 5^{12}} = \frac{5^{3 \times 4} \cdot 5^{2 \times 5}}{5^{4 \times 2} \cdot 5^{12}} = \frac{5^{12} \cdot 5^{10}}{5^8 \cdot 5^{12}} = \frac{5^{12+10}}{5^{8+12}} = \frac{5^{22}}{5^{20}} = 5^{22-20} = 5^2 = 25 \]

Ответ: а) 2; б) 1; в) 100; г) 2; д) 5; е) 1/9; ж) 5; з) 1000; и) 25.