1.5. а) (x² − 9y²)/(x + 4y) = 0, x² − 9y² = 0, x − 3y = 0; б) √(3x + y) = 2, 3x + y = 4, |3x + y| = 2; в) (x² + 12xy + 36y²)/(x + 6y) = 0, x² + y² + 1 = 0, x + 6y = 0. Укажите равносильные уравнения.

Сравним множества решений, учитывая область определения дробей и ограничения корней.

• а) x² − 9y² = (x − 3y)(x + 3y). Во втором уравнении решения лежат на прямых x = 3y или x = −3y. У дробного уравнения дополнительно требуется x + 4y ≠ 0, поэтому оно не равносильно второму. Уравнение x − 3y = 0 задаёт только одну из этих прямых. Равносильных пар нет.
• б) Из √(3x + y) = 2 следует 3x + y = 4, и обратно это равенство обеспечивает неотрицательность подкоренного выражения. Первые два уравнения равносильны. Уравнение |3x + y| = 2 также допускает 3x + y = −2, поэтому с ними не равносильно.
• в) В первом уравнении числитель равен (x + 6y)². При x + 6y ≠ 0 дробь равна x + 6y, поэтому равенство нулю решений не имеет. Второе уравнение также не имеет действительных решений, поскольку x² + y² + 1 > 0. Следовательно, первые два уравнения равносильны. Третье задаёт прямую и им не равносильно.

Ответ: б) первые два уравнения; в) первые два уравнения.