1.7.57. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем — 0,4. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,9?

Вероятность не уничтожить цель первым выстрелом равна \(1-0{,}3=0{,}7\), а каждым последующим — \(1-0{,}4=0{,}6\).

Вероятность того, что цель останется неуничтоженной после \(n\) выстрелов, равна \(0{,}7\cdot 0{,}6^{n-1}\). Требуется, чтобы вероятность уничтожения была не меньше 0,9, то есть вероятность промаха всеми выстрелами была не больше 0,1.

Для четырёх выстрелов вероятность уничтожения равна \(1-0{,}7\cdot 0{,}6^3=0{,}8488<0{,}9\).

Для пяти выстрелов: \(1-0{,}7\cdot 0{,}6^4=0{,}90928\ge 0{,}9\).

Ответ: 5 выстрелов.