1. а) Найдите координаты и длину вектора \(\vec a\), если \(\vec a=\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{BD}-\frac12\overrightarrow{CA}\). б) Разложите вектор \(\vec a\) по координатным векторам \(\vec i\) и \(\vec j\). Даны точки \(A(3;1)\), \(B(3;3)\), \(C(5;-3)\), \(D(-1;-5)\).

Найдём координаты нужных векторов по правилу: из координат конца вычитаем координаты начала.

\(\overrightarrow{AB}=(3-3;3-1)=(0;2)\), \(\overrightarrow{BD}=(-1-3;-5-3)=(-4;-8)\), \(\overrightarrow{CA}=(3-5;1-(-3))=(-2;4)\).

Подставим координаты в выражение:

\(\vec a=(0;2)+\frac14(-4;-8)-\frac12(-2;4)\)

\(\vec a=(0;2)+(-1;-2)+(1;-2)=(0;-2)\).

Длина вектора: \(|\vec a|=\sqrt{0^2+(-2)^2}=2\).

Разложение по координатным векторам: \(\vec a=0\vec i-2\vec j=-2\vec j\).

Ответ: координаты \(\vec a=(0;-2)\), длина \(|\vec a|=2\), разложение \(\vec a=-2\vec j\).