1) а) Решите уравнение $3\cos 2x-7\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)-2=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1) а) Решите уравнение $3\cos 2x-7\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)-2=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие…$ Фото задания

1) а) Решите уравнение $3\cos 2x-7\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)-2=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]$.

Accepted Answer

а) Используем тождества $\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$ и $\cos 2x=2\cos^2x-1$:

$3(2\cos^2x-1)-7\cos x-2=0$, поэтому $6\cos^2x-7\cos x-5=0$.

Решаем квадратное уравнение относительно $\cos x$: $\cos x=\frac{7\pm\sqrt{169}}{12}$, то есть $\cos x=\frac{5}{3}$ или $\cos x=-\frac{1}{2}$. Значение $\frac{5}{3}$ невозможно, так как косинус не превышает 1.

Следовательно, $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k$ или $x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k$, где $k\in\mathbb{Z}$.

б) На отрезке $\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]$ из этих корней находится только $\frac{14\pi}{3}$.

Ответ: а) $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k$ или $x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$; б) $\frac{14\pi}{3}$.

1) а) Решите уравнение \(3\cos 2x-7\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)-2=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]\).

Ответ: